：机械与运载工程学院湖南大学崔向阳等参元与数值积分有限单元

湖南大学机械与车辆工程学院 崔向阳等 参数元与数值积分 有限元法 崔向阳 19:45 对于一般四边形单元，在整体坐标系中构造位移插值函数，形函数矩阵，计算单元刚度矩阵等。有效的节点负载数组非常繁琐；对于矩形元素，相应的计算要简单得多。矩形单元的明显缺点是不能很好地符合曲线边界，所以可以混合使用矩形单元和三角形单元（网格划分困难）。更通用的方法是通过等参变换将局部自然坐标系中的归一化矩形元素变换为全局坐标系中的任意四边形元素（包括高阶曲边四边形元素）。等参元的引入 等参元的引入是有限元法成为现代工程实际领域中最有效的数值分析方法极其重要的一步。有限元法 崔向阳 19:45 对于一般的四边形单元，在整体坐标系中构造位移插值函数，形函数矩阵、单元刚度矩阵和等效节点载荷阵的计算非常复杂；对于矩形元素，相应的计算要简单得多。矩形单元的明显缺点是不能很好地符合曲线边界，所以可以混合使用矩形单元和三角形单元（网格划分困难）。更通用的方法是通过等参变换将局部自然坐标系中的归一化矩形元素变换为全局坐标系中的任意四边形元素（包括高阶曲边四边形元素）。

等参元的引入 等参元的引入是有限元法成为现代工程实际领域中最有效的数值分析方法极其重要的一步。有限元法 崔向阳 19:45 等参单元：用相同的节点、相同的形函数通过插值来表达单元的几何坐标和位移的单元，称为等参单元。如果坐标变换中的节点数大于位移插值中的节点数，则称为超参数变换。反之，如果坐标变换中的节点数小于位移插值中的节点数，则称为子参数变换。物理坐标系 自然坐标系 映射关系 有限元法 崔向阳 19:454 节点四边形等参元 有限元法 崔向阳 19:454 节点四边形等参元 有限元法 崔向阳 19:45 位移函数 4 节点四边形等参元 有限元法崔向阳 19:45 相同可得：4节点四边形等参元有限元法 崔向阳19:454-节点四边形等参元有限元法 崔向阳19:4510 单元的几何坐标和位移使用相同的节点并且相同的形状函数用插值表示。形状函数以自然坐标给出。4节点四边形等参元有限元法崔向阳19：4511 等参元 形函数属性 Delta 属性 有限元法 崔向阳 19:4512 应变矩阵 应变矩阵 4 节点四边形等参元有限元法 崔向阳 19:45134 节点四边形等参元 有限元法 崔向阳 19:4514 单元刚度矩阵元刚度矩阵 二次函数 二次函数 单元载荷向量 单元载荷向量 4 节点四边形等参单元 有限元法 单元的形状要求为四边形。等参单元的形状不需要重节点。内角大于180。内角最好在30之间（在有限变形的情况下），以避免有限元法。崔向阳19：

等参单元的插值函数由自然坐标给出有限单元法基本原理和数值方法，等参单元的所有计算均在自然坐标系中的归一化父单元中进行，相关操作大大简化。无论每个积分形式的被积函数多么复杂，都可以通过标准化的数值积分方法进行计算，从而将工程问题的有限元分析纳入一个统一的通用程序。等参单元的优点 有限元法 崔向阳 19:4519 数值积分 在计算刚度矩阵和等效节点载荷阵列的元素时，常涉及复函数的定积分，数值积分的数值积分广泛用于有限元分析。方法是一种近似。一个函数的定积分可以用n个节点的函数值的加权组合来表示 向阳19:4521 数值积分公式 二次函数得到精确积分值 二次函数得到精确积分值 有限元法 崔向阳19:4522 数值积分 积分 积分 高斯积分法 预先定义积分点和对应的加权系数，求积分函数在指定积分点的值，加权求和，得到函数的积分。高斯积分方法具有最高的计算精度。n个积分点的高斯积分可以达到2n-1阶的精度，也就是说，如果积分函数是2n-1阶的多项式有限单元法基本原理和数值方法，

有限元法 崔向阳 19:4523 数值积分 0.65/9,8/9,5/9-0.,-0.,0.,0..,0.,0.,0.-0.,-0 .,0.,0..,0.,0.,0.,0.-0.,-0.,-0.,0.,0.,0..,0.,0.,0. ,0.,0. 有限元法 崔向阳 19:4524 数值积分中等参元素中积分阶的选择 等参元素中积分阶的选择 很多情况下，实际选择的高斯积分点数低于精确积分的要求，往往可以达到比完全精确的积分更准确。（约简积分）线性元 完全精确积分 约简积分 有限元法 崔向阳 19:4525 节点位移和约束反作用力 所有未知的节点位移都可以通过求解平衡方程来求解：

应用边界条件后，得到修正的平衡方程。有限元法 崔向阳 19:4526 应力处理 有限元法 崔向阳 19:4527 举例问题 考虑如图所示的平面应力问题，假设厚度h=1，材料相同，杨氏模量E= 1、泊松比为ν=0，相关的力和位移边界条件如图所示，问题左端为固定约束。尝试一个四边形单元来分析这个问题，四边形单元的网格划分如图所示。尝试找出问题的每个节点的位移 u、v 和应力 σ。有限元法 崔向阳 19:4528 示例问题 崔向阳 19:4529 示例问题使用全积分，四个积分点的等参坐标为0.39430.39430.10570.10570.39430。10570.10570.3943有限单元法崔向阳19:4530例题0.39431.78860.50.22050.11020.22050.02950.13980.44090.11810.11810.44090.44090.44090.11020.11810.22050.11810.02950.44090.1398有限单元法崔向阳19:4531例题选用全积分，四个积分点的等参坐标分别为0.10570.1057 0.3943 0.3943 0.39430.1057 0.1057 0.3943 有限单元法崔向阳19:45 32 例题0.10571.7886 0.50.0591 0.02950.0591 0.1909 0.2205 0.44090.1181 0.1181 0.4409 0.44090.4409 0.0295 0.1181 0.0591 0.1181 0.1909 0.4409 0.2205 有限元法 崔向阳 19:45 33 例题采用全积分，四个积分点的等参坐标分别为 0.39430.3943 0.1057 0.1057 0.10570.3943 0.3943 0.1057 有限元法 崔向阳 19:45 34 例题0.3 .214 .3255 0.16280.3255 0.0755 0.0872 0..6511 0.6511 0.1745 0.