负数是不是自然数(分数是不是自然数)

Iyengar Ramanujan是一个自学成才的印度天才。他热爱数字胜过一切，几乎每天甚至每小时都会发现一个新的定理。但根据他自己的叙述，这些定理是他梦中的女神纳马吉利告诉他的。无论如何，他的天才永远不会被质疑。Manujan在地球上的最后一年，发现了2000个新定理。现在这些定理存放在剑桥大学图书馆的三卷本中，名为& # 34；Ramanujan丢失的笔记本& # 34；他30岁就去世了。

虽然Ramanujan的大部分研究超出了大多数人的智力，但有一项研究非常著名，几乎所有对数学感兴趣的人都知道他证明了“所有自然数之和为负”的荒谬结论。

-1/12也恰好出现在弦理论中(不是霍金的，是玻色弦理论)，而这个理论恰恰在相当程度上解释了我们的宇宙！但这是真的吗？这完全说不通，是吗？然后看看Ramanujan对这个看似不切实际的方程的实际证明。

Ramanujan从两个系列开始:

T=1-2+3-4+5-6+7-...S=1-1+1-1-...

首先考虑第二个公式:

S = 1-1+1-1+1-...

接下来，他做了一点改动:

S = 1-(1-1+1-1+1-...)

仔细看，括号里的“东西”是零吧？

在这里，我要提醒你，当涉及到无穷大的时候，不要相信你的直觉，这个我在另一篇文章中详细讨论过。

调和级数——自然的真相是如何隐藏在数字中的，永远不要相信直觉

我们继续吧...根据我们的直觉，括号中的“东西”等于零，那么就有:

S = 1-S2S = 1S = 1/2 - - - - [1]

重新排列后，我们得到这个级数等于1/2的结果。

然后是第一个等式。

T = 1-2+3-4+5-6+7-...

现在让我们把两个T加起来。

2T = (1-2+3-4+5-6+7-...) + (1-2+3-4+5-6+7-...)

在这里，我们从其中一个括号中取出1(这只是Ramanujan众多技巧中的一个)，你会习惯的。

2T = 1 + (-2+3-4+5-6+7-...) + (1-2+3-4+5-6+7-...)

重排，我们得到:

2T = 1 + [ (-2+1)+(3-2)+(-4+3)+...]

看到了吗？

2T = 1 + [-1+1-1+1-...]2T = 1-1+1-1+1-...2T = S = 1/2T = 1/4

没毛病吧？

现在，取所有整数之和为U=1+2+3+4+...我们从U中减去T:

U-T = [1+2+3+...]-[1-2+3-4+...] 。U-T = [(1-1) + (2-(-2)) + (3-3) + (4-(-4))+...

相加得到:

U-T=4+8+12+...。

再次重新排列以获得:

U-T=4（1+2+3+...）=4UU-4U = T3U = T

因为我们已经知道T=1/4:

3U = -1/4U = -1/12

因此，1+2+3+...=-1/12，但实际情况是这样吗？我之前警告过，不要相信自己的直觉，当它涉及到无限的时候！

答案是否定的！为什么这个答案是错的，来源于实分析中一个最基本的概念，收敛。如果你没有注意到，我们讲的第一个方程S无非是格兰迪级数。

S = 1-1+1-1+1-...

S可以有两个可能的值，当我们考虑偶项之和时为0，当我们考虑奇项之和时为1，但S作为一个整体没有任何具体的解，因为它不考虑偶项之和或奇项之和，而是一个无穷级数。你可能会问为什么Grandy级数无解(答案)，而其他很多无穷级数都有解。这个问题的答案会让我们明白为什么Ramanujan的无穷级数是错的。

我们把S写成求和的形式，让它看起来更& # 34；数学& # 34；：

其中n是一个整数，当n趋向于无穷时，S变成了格兰迪级数

我们观察到，当n从1变到∞时，从s得到的值会在0和1之间来回“跳跃”，或者换句话说，s的值不会“收敛”在任何东西上。

为了理解收敛的概念，让我们考虑一个更简单的函数。

从图中可以看出，随着x值的增大，函数f(x)慢慢趋于1，图形变得平坦。或者我们可以说函数收敛于1。

另一方面，函数是这样的:

是非收敛的，因为当x的值增大时，函数g(x)趋于∞，不会像f(x)那样收敛到一个常数1。

Ramanujan在无穷级数中出错的关键原因是s等于1/2，这在实际中是不可能的，虽然证明了它等于1/2，因为s是非收敛的，也就是说，即使我们取s的无穷项之和，要么得到0，要么得到1，增加项也会得到相同的结果，0或1。这里的s是一个交替数列，即对于奇数项的和，得到一个特定的结果1，而对于偶数项的和，得到另一个结果0，并且值保持变化。

对于第二个系列T，可以发现类似的误差。

T = 1-2+3-4+5-6+7-...

经过重排和简化，我们得到:

T = (1-2)+(3-4)+(5-6)+...T = -1-1-1-...

或者用更数学的术语来说。

与原来求出的1/4的值不一致是合理的，因为我们用S=1/2求出了同样的值，我们已经看到S=1/2是绝对错误的。

另外，所有自然数之和u可以写成。

U以极限的形式写出来

从u的极限表达式可以看出，n(n+1)/2无法简化得到除∞以外的结果，因此，既然所有自然数n(n+1)/2的和绝不收敛，我们就不能指望它收敛到-1/12。

有趣的是-1/12出现在前面讨论的弦理论中，这将是下一篇文章的主题。